364. Точка K — середина ребра B₁C₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Разложите вектор \(\overrightarrow{AK}\) по векторам \(\vec a=\overrightarrow{AB}\), \(\vec b=\overrightarrow{AD}\), \(\vec c=\overrightarrow{AA₁}\) и найдите длину этого вектора, если ребро куба равно m.

Так как K — середина ребра B₁C₁, то

\[\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BK}.\]

Вектор \(\overrightarrow{BK}\) состоит из половины ребра AD и ребра AA₁:

\[\overrightarrow{BK}=\frac12\vec b+\vec c.\]

Следовательно,

\[\overrightarrow{AK}=\vec a+\frac12\vec b+\vec c.\]

Векторы \(\vec a,\vec b,\vec c\) взаимно перпендикулярны и имеют длину m. Поэтому

\[|\overrightarrow{AK}|=\sqrt{m^2+\left(\frac m2\right)^2+m^2}=\sqrt{\frac94m^2}=\frac{3m}{2}.\]

Ответ: \(\overrightarrow{AK}=\vec a+\frac12\vec b+\vec c\); \(|\overrightarrow{AK}|=\frac{3m}{2}\).