365. Вне плоскости параллелограмма ABCD взята точка O. Точка M — середина AB, а точка K — середина MD. Разложите векторы \(\overrightarrow{OM}\) и \(\overrightarrow{OK}\) по векторам \(\vec a=\overrightarrow{OA}\), \(\vec b=\overrightarrow{OB}\), \(\vec c=\overrightarrow{OC}\).

Поскольку M — середина AB, имеем

\[\overrightarrow{OM}=\frac12\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)=\frac12(\vec a+\vec b).\]

Для параллелограмма ABCD выполняется равенство \(\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\), поэтому

\[\overrightarrow{OD}=\vec a+\vec c-\vec b.\]

Так как K — середина MD,

\[\overrightarrow{OK}=\frac12\left(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OD}\right).\]

Подставим найденные выражения:

\[\overrightarrow{OK}=\frac12\left(\frac12(\vec a+\vec b)+\vec a+\vec c-\vec b\right).\]

Приведём подобные слагаемые:

\[\overrightarrow{OK}=\frac12\left(\frac32\vec a-\frac12\vec b+\vec c\right)=\frac34\vec a-\frac14\vec b+\frac12\vec c.\]

Ответ: \(\overrightarrow{OM}=\frac12\vec a+\frac12\vec b\); \(\overrightarrow{OK}=\frac34\vec a-\frac14\vec b+\frac12\vec c\).