37.8. Сторона основи правильної трикутної призми дорівнює 12 см, а діагоналі бічної грані — 13 см. Знайти площу повної поверхні призми.

Решение:

Полная поверхность призмы равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания: \( S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} \).

Основание правильной трикутной призмы — равносторонний треугольник. Найдем площадь основания со стороной \( a = 12 \text{ см} \):

\( S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{12^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{144 \sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3} \text{ см}^2 \).

Боковая грань правильной призмы — прямоугольник. Диагональ боковой грани равна 13 см, а сторона основания — 12 см. Используем теорему Пифагора, чтобы найти высоту призмы \( h \) (которая является второй стороной прямоугольника-грани):

\( 12^2 + h^2 = 13^2 \)

\( 144 + h^2 = 169 \)

\( h^2 = 169 - 144 \)

\( h^2 = 25 \)

\( h = 5 \text{ см} \).

Теперь найдем площадь боковой поверхности. Периметр основания \( P_{осн} = 3a = 3 \cdot 12 = 36 \text{ см} \).

\( S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 36 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 180 \text{ см}^2 \).

Найдем площадь полной поверхности:

\( S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 180 \text{ см}^2 + 2 \cdot 36\sqrt{3} \text{ см}^2 = 180 + 72\sqrt{3} \text{ см}^2 \).

Ответ: 180 + 72√3 см².