37. а) В равностороннем треугольнике ABC BK — биссектриса. Найдите угол KBC. б) В треугольнике ABC ∠A=∠B=∠C=60°. Найдите длину AK, если AB=10, BK — высота. в) В треугольнике ABC AB=BC=AC. Найдите BC, если KC=12, KB — высота.

а) Угол B равностороннего треугольника равен 60°. Биссектриса BK делит его пополам: ∠KBC = 60° / 2 = 30°.

б) Так как все углы равны 60°, треугольник ABC равносторонний, поэтому AC = AB = 10. Высота BK к основанию AC одновременно является медианой, значит K — середина AC. Тогда AK = AC / 2 = 10 / 2 = 5.

в) В равностороннем треугольнике высота BK к стороне AC является медианой, поэтому AK = KC = 12. Следовательно, AC = 12 + 12 = 24, а BC = AC = 24.

Ответ: а) 30°; б) AK = 5; в) BC = 24.