37. В прямоугольном треугольнике RQK с вписанной окружностью радиуса 6 найти RK − QK, если RM = 16.

Из свойства касательных к окружности из одной точки: RH = RM = 16. В прямоугольном треугольнике отрезок от вершины прямого угла до точки касания равен радиусу, поэтому KH = 6.

Тогда RK = RH + HK = 16 + 6 = 22.

Обозначим QK = x + 6, где x — касательная от вершины Q. Тогда RQ = x + 16. По теореме Пифагора:

\(22^2+(x+6)^2=(x+16)^2\).

После упрощения: \(x=16\), поэтому \(QK=16+6=22\).

Ответ: \(RK-QK=22-22=0\).