41. В треугольнике ABC вписана окружность, AB = 8, AC = BC, CD : DA = 3 : 2. Найти PA.

Точка D — точка касания окружности со стороной AC, а P — точка касания со стороной AB. Из одной вершины к окружности проведены равные касательные, поэтому \(AP=AD\).

Так как \(CD:DA=3:2\), обозначим \(CD=3x\), \(DA=2x\). При условии \(AC=BC=8\):

\(3x+2x=8\), откуда \(x=\frac{8}{5}\).

Следовательно, \(PA=AD=2x=\frac{16}{5}\).

Ответ: \(PA=\frac{16}{5}=3{,}2\).