373 В равнобедренный треугольник вписана окружность с центром О, и около него описана окружность с центром Е. Докажите, что точки О и Е лежат на серединном перпендикуляре к основанию треугольника.

Доказательство:

Рассмотрим равнобедренный треугольник \( ABC \), где \( AB = AC \) и \( BC \) — основание.

1. Центр вписанной окружности (O):
   В равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности (точка \( O \)) лежит на оси симметрии треугольника. Осью симметрии равнобедренного треугольника является его высота, проведённая к основанию, которая также является медианой и биссектрисой. Эта высота и является серединным перпендикуляром к основанию \( BC \). Следовательно, точка \( O \) лежит на серединном перпендикуляре к основанию \( BC \).
2. Центр описанной окружности (E):
   В равнобедренном треугольнике центр описанной окружности (точка \( E \)) также лежит на оси симметрии треугольника, то есть на высоте, проведённой к основанию. Эта высота является серединным перпендикуляром к основанию \( BC \). Следовательно, точка \( E \) лежит на серединном перпендикуляре к основанию \( BC \).

Вывод: Так как обе точки, \( O \) и \( E \), лежат на одной и той же прямой (оси симметрии треугольника, которая является серединным перпендикуляром к основанию \( BC \)), то точки \( O \) и \( E \) лежат на серединном перпендикуляре к основанию треугольника. Что и требовалось доказать.