375 Начертите прямую l. Отметьте точку А, не лежащую на этой прямой. Постройте точку А1, симметричную точке А, с помощью одного циркуля.

Построение:

1. Проведите прямую l.
2. Отметьте на ней точку О.
3. Отметьте вне прямой l точку А.
4. С помощью циркуля проведите окружность с центром в точке А, которая пересекает прямую l в двух точках (назовем их M и N).
5. Не меняя раствор циркуля, проведите две окружности: одну с центром в точке M, другую — с центром в точке N. Эти окружности должны пересекаться.
6. Точка пересечения окружностей (назовем её Р) находится на той же стороне от прямой l, что и точка А.
7. С помощью циркуля проведите окружность с центром в точке Р, которая проходит через точки M и N.
8. Точка, в которой эта окружность пересекает прямую AP (на той же стороне от l, что и А), будет искомой точкой А₁.

Для построения точки А1, симметричной точке А относительно прямой l, можно также выполнить следующие шаги:

1. Проведите прямую l и отметьте точку А.
2. Из точки А проведите произвольный луч, пересекающий прямую l в точке М.
3. С помощью циркуля, не меняя раствора, отложите от точки М на луче отрезок МА₁, равный отрезку АМ, но в другую сторону от прямой l.
4. Проведите окружность с центром в точке А, которая пересекает прямую l в двух точках, например X и Y.
5. С помощью циркуля, не меняя раствора, проведите две окружности: одну с центром в X, другую — с центром в Y. Эти окружности пересекутся в двух точках.
6. Точка пересечения этих окружностей, лежащая на прямой l, будет центром симметрии.
7. Проведите прямую через точку А и центр симметрии. Точка А₁ будет симметричной точкой.

Примечание: Построение только циркулем может быть сложным. Чаще всего для построения симметричной точки используют и циркуль, и линейку.