377. а) Найдите градусную меру центрального угла AOB, если известно, что BC — диаметр, а угол ABC равен 20°. б) Найдите градусную меру угла OAB, если известно, что BC — диаметр, а угол AOC равен 106°. в) На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки C и D. Найдите угол CDB, если угол CBA равен 45°. г) Хорда CD перпендикулярна диаметру AB окружности. Найдите угол CBD, если угол CAB равен 17°.

1. а) Так как BC — диаметр, ∠BAC = 90°. Тогда в треугольнике ABC: ∠ACB = 180° − 90° − 20° = 70°. Центральный угол AOB и вписанный угол ACB опираются на одну дугу AB, значит ∠AOB = 2 · 70° = 140°.
2. б) OA = OC, поэтому треугольник AOC равнобедренный: ∠OAC = (180° − 106°) : 2 = 37°. Так как B, O, C лежат на одной прямой, ∠AOB = 180° − 106° = 74°. В треугольнике AOB OA = OB, поэтому ∠OAB = (180° − 74°) : 2 = 53°.
3. в) Поскольку AB — диаметр, ∠ACB = 90°. Тогда ∠CAB = 180° − 90° − 45° = 45°. Углы CAB и CDB опираются на одну хорду CB, а точки A и D лежат по одну сторону от неё. Следовательно, ∠CDB = ∠CAB = 45°.
4. г) ∠CAB = 17° — вписанный угол, поэтому дуга CB равна 2 · 17° = 34°. Диаметр AB, перпендикулярный хорде CD, делит пополам дуги CD, поэтому дуга BD также равна 34°. На полуокружности ADB дуга AD равна 180° − 34° = 146°. Дуга CD, не содержащая B, проходит через A и равна дуге CA плюс дуге AD. Дуга CA равна 180° − 34° = 146°, поэтому дуга CDA через A имеет меру 146° + 146° = 292°. Следовательно, ∠CBD = 292° : 2 = 146°.

Ответ: а) 140°; б) 53°; в) 45°; г) 146°.