377 Заполнив несколько строк в таблице, найди закономерность, которой подчиняются числа, стоящие в трех последних столбцах каждой строки. Затем заполни таблицу до конца. Можно ли утверждать, что данная закономерность справедлива для всех пар чисел. Почему?

Решение:

1. Заполнение таблицы:

2. Нахождение закономерности:

Заметим, что произведение двух чисел равно произведению их Наибольшего Общего Делителя (НОД) и Наименьшего Общего Кратногo (НОК).

Проверим на примерах:

• Для чисел 4 и 6: \( 4 \times 6 = 24 \), \( 2 \times 12 = 24 \). Равенство выполняется.
• Для чисел 6 и 9: \( 6 \times 9 = 54 \), \( 3 \times 18 = 54 \). Равенство выполняется.
• Для чисел 5 и 7: \( 5 \times 7 = 35 \), \( 1 \times 35 = 35 \). Равенство выполняется.
• Для чисел 35 и 45: \( 35 \times 45 = 1575 \), \( 5 \times 315 = 1575 \). Равенство выполняется.
• Для чисел 16 и 18: \( 16 \times 18 = 288 \), \( 2 \times 144 = 288 \). Равенство выполняется.
• Для чисел 735 и 845: \( 735 \times 845 = 621175 \), \( 5 \times 124235 = 621175 \). Равенство выполняется.

Закономерность: Произведение двух чисел равно произведению их НОД и НОК.

3. Заполнение таблицы до конца:

Для чисел 6 и 9:

• НОД(6, 9) = 3
• НОК(6, 9) = \( \frac{6 \times 9}{3} = \frac{54}{3} = 18 \)

Для чисел 5 и 7:

• НОД(5, 7) = 1 (числа взаимно простые)
• НОК(5, 7) = \( 5 \times 7 = 35 \)

Для чисел 35 и 45:

• Разложим на простые множители: \( 35 = 5 \times 7 \), \( 45 = 3^2 \times 5 \)
• НОД(35, 45) = 5
• НОК(35, 45) = \( 3^2 \times 5 \times 7 = 9 \times 5 \times 7 = 315 \)

Для чисел 16 и 18:

• Разложим на простые множители: \( 16 = 2^4 \), \( 18 = 2 \times 3^2 \)
• НОД(16, 18) = 2
• НОК(16, 18) = \( 2^4 \times 3^2 = 16 \times 9 = 144 \)

Для чисел 735 и 845:

• Разложим на простые множители: \( 735 = 3 \times 5 \times 7^2 \), \( 845 = 5 \times 13^2 \)
• НОД(735, 845) = 5
• НОК(735, 845) = \( 3 \times 5 \times 7^2 \times 13^2 = 3 \times 5 \times 49 \times 169 = 124235 \)

4. Правомерность утверждения:

Да, можно утверждать, что данная закономерность справедлива для всех пар натуральных чисел. Это известное свойство НОД и НОК, которое доказывается с помощью разложения чисел на простые множители.

Ответ: Закономерность: Произведение двух чисел равно произведению их НОД и НОК. Да, утверждение справедливо для всех пар натуральных чисел.