386. Докажите, что отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен основаниям.

Пусть в трапеции \(ABCD\) основаниями являются \(AD\) и \(BC\), а \(M\) и \(N\) — середины боковых сторон \(AB\) и \(CD\).

Проведём через точку \(M\) прямую, параллельную основаниям. Пусть она пересекает диагональ \(AC\) в точке \(K\). В треугольнике \(ABC\) точка \(M\) — середина стороны \(AB\), а \(MK\parallel BC\). Поэтому по теореме Фалеса точка \(K\) является серединой стороны \(AC\).

В треугольнике \(ADC\) точка \(K\) — середина стороны \(AC\), а точка \(N\) — середина стороны \(CD\). Следовательно, по теореме о средней линии треугольника \(KN\parallel AD\).

Через точку \(K\) проходит единственная прямая, параллельная \(AD\). Поэтому прямые \(MK\) и \(KN\) совпадают, значит, \(M,N,K\) лежат на одной прямой и \(MN\parallel AD\). Так как \(AD\parallel BC\), то \(MN\) параллелен обоим основаниям.

Ответ: отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен её основаниям.