388. б) Из одной точки проведены касательная АВ и секущая АС, точка В – точка касания. Отрезок АС пересекает окружность в точке Р. Найдите АР, если АВ = 8, а РС = 12.

Решение:

• По свойству касательной и секущей, $$AB^2 = AP \cdot AC$$.
• Нам дано, что $$AB = 8$$ и $$PC = 12$$.
• Длина всей секущей $$AC = AP + PC = AP + 12$$.
• Подставляем значения в формулу: $$8^2 = AP \cdot (AP + 12)$$.
• $$64 = AP^2 + 12AP$$.
• Переносим все в одну часть уравнения: $$AP^2 + 12AP - 64 = 0$$.
• Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 1  (-64) = 144 + 256 = 400$$.
• $$AP = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 \pm \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 \pm 20}{2}$$.
• Так как длина отрезка не может быть отрицательной, выбираем положительный корень: $$AP = \frac{-12 + 20}{2} = \frac{8}{2} = 4$$.

Ответ: AP = 4