389. Решите уравнение, введя подходящую замену: а) (x² + 3x)² + 2(x² + 3x) − 24 = 0; б) (x² + x + 1)² + 2(x² + x + 1) − 3 = 0; в) (1 − x)⁴ + (1 − x)² = 20; г) (2 − x²)⁴ + 10(2 − x²)² = −9.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Вводим замену для повторяющегося выражения и учитываем ограничения на него.

а) Пусть \(t=x^2+3x\). Тогда \(t^2+2t-24=0\), то есть \((t+6)(t-4)=0\). При \(t=4\): \(x^2+3x-4=0=(x+4)(x-1)\), откуда \(x=-4\) или \(x=1\). При \(t=-6\): \(x^2+3x+6=0\), дискриминант равен \(-15\), действительных корней нет.
б) Пусть \(t=x^2+x+1\). Тогда \(t^2+2t-3=0\), то есть \((t+3)(t-1)=0\). Поскольку \(x^2+x+1=(x+\frac12)^2+\frac34\ge\frac34\), значение \(t=-3\) невозможно. При \(t=1\) получаем \(x^2+x=0\), поэтому \(x=0\) или \(x=-1\).
в) Пусть \(t=(1-x)^2\), тогда \(t\ge0\) и \(t^2+t-20=0=(t+5)(t-4)\). Подходит только \(t=4\). Значит, \((1-x)^2=4\), откуда \(1-x=\pm2\) и \(x=-1\) или \(x=3\).
г) Пусть \(t=(2-x^2)^2\), поэтому \(t\ge0\). Уравнение принимает вид \(t^2+10t+9=0=(t+1)(t+9)\). Его значения \(t=-1\) и \(t=-9\) не удовлетворяют условию \(t\ge0\), поэтому действительных корней нет.

Ответ: а) \(-4,\ 1\); б) \(-1,\ 0\); в) \(-1,\ 3\); г) корней нет.