397. Решите уравнения: а) 5/x = 8/(x + 1) + 1; б) z/(z − 4) + 6/z = 1; в) 1/(t − 6) + 3 = 10/t; г) 4/(y − 2) − 3/y = 1/2; д) y/(y − 1) + 6/(y + 1) = 4; е) 8/(z − 2) − 1 = 8/(z + 2); ж) 4/x + 7/(2x + 3) = 3; з) 3/(2t − 1) = 1 − 4/(2t + 1).

В каждом пункте исключаем значения, обращающие знаменатель в нуль.

1. а) ОДЗ: x ≠ 0, −1. Умножение на x(x + 1) даёт 5(x + 1) = 8x + x(x + 1), то есть x² + 4x − 5 = 0. Корни 1 и −5 допустимы. x = 1 или x = −5.
2. б) ОДЗ: z ≠ 0, 4. Умножаем на z(z − 4): z² + 6(z − 4) = z(z − 4). Получаем 10z = 24, поэтому z = 12/5.
3. в) ОДЗ: t ≠ 0, 6. После умножения на t(t − 6): t + 3t(t − 6) = 10(t − 6), откуда 3t² − 27t + 60 = 0, или (t − 4)(t − 5) = 0. t = 4 или t = 5.
4. г) ОДЗ: y ≠ 0, 2. Умножаем на 2y(y − 2): 8y − 6(y − 2) = y(y − 2). Получаем y² − 4y − 12 = 0. y = 6 или y = −2.
5. д) ОДЗ: y ≠ 1, −1. Умножаем на (y − 1)(y + 1): y(y + 1) + 6(y − 1) = 4(y² − 1). Отсюда 3y² − 7y − 10 = 0, корни −1 и 10; −1 исключается. y = 10.
6. е) ОДЗ: z ≠ 2, −2. Умножаем на (z − 2)(z + 2): 8(z + 2) − (z² − 4) = 8(z − 2). Получаем z² = 36; оба корня допустимы. z = 6 или z = −6.
7. ж) ОДЗ: x ≠ 0, −3/2. Умножаем на x(2x + 3): 4(2x + 3) + 7x = 3x(2x + 3), то есть 6x² − 17x − 12 = 0. Корни 3 и −2/3. x = 3 или x = −2/3.
8. з) ОДЗ: t ≠ 1/2, −1/2. Умножаем на (2t − 1)(2t + 1): 3(2t + 1) = (4t − 1)(2t − 1). Получаем 4t² − 7t − 2 = 0, откуда t = 2 или t = −1/4. t = 2 или t = −1/4.