4) 1 : 2 \( \frac{7}{9} \) = x + 4 \( \frac{2}{5} \) x;

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Переведем смешанные числа в неправильные дроби:
   \( 2 \frac{7}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{18 + 7}{9} = \frac{25}{9} \)
   \( 4 \frac{2}{5} = \frac{4 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{20 + 2}{5} = \frac{22}{5} \)
2. Шаг 2: Упростим левую часть уравнения:
   \( 1 : \frac{25}{9} = 1 \cdot \frac{9}{25} = \frac{9}{25} \)
3. Шаг 3: Упростим правую часть уравнения, приведя подобные слагаемые:
   \( x + \frac{22}{5} x = \left( 1 + \frac{22}{5} \right) x = \left( \frac{5}{5} + \frac{22}{5} \right) x = \frac{27}{5} x \)
4. Шаг 4: Уравнение принимает вид:
   \( \frac{9}{25} = \frac{27}{5} x \)
5. Шаг 5: Находим значение x:
   \( x = \frac{9}{25} : \frac{27}{5} = \frac{9}{25} \cdot \frac{5}{27} = \frac{9 \cdot 5}{25 \cdot 27} = \frac{1 \cdot 1}{5 \cdot 3} = \frac{1}{15} \)

Ответ: \( x = \frac{1}{15} \)