4.1.5. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Задание 4.1.5

Нам дан график функции \(y = f(x)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \(x_0\). Нам нужно найти значение производной функции \(f(x)\) в точке \(x_0\).

Ключевой момент: Значение производной функции в точке равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке, то есть тангенсу угла, который эта касательная образует с положительным направлением оси абсцисс.

Рассмотрим первую картинку:

Мы видим, что касательная является прямой линией. Чтобы найти её наклон, нужно выбрать две точки на этой прямой. Удобно взять точки, где прямая пересекает линии сетки.

Возьмём точку, где \(x = 0\). На графике видно, что \(y = 0\) в этой точке. Значит, одна точка — \((0, 0)\).

Возьмём другую точку. Например, где \(x = 1\). На графике видно, что \(y = 2\) в этой точке. Значит, вторая точка — \((1, 2)\).

Теперь найдём тангенс угла наклона (коэффициент \(k\)) этой прямой, используя формулу:

\[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

Подставляем координаты точек \((0, 0)\) и \((1, 2)\):

\[ k = \frac{2 - 0}{1 - 0} = \frac{2}{1} = 2 \]

Таким образом, значение производной функции \(f'(x_0)\) в этой точке равно 2.

Рассмотрим вторую картинку:

На этой картинке касательная проходит через точки \((0, 1)\) и \((1, 0)\).

Найдем тангенс угла наклона:

\[ k = \frac{0 - 1}{1 - 0} = \frac{-1}{1} = -1 \]

Значит, значение производной функции \(f'(x_0)\) в этой точке равно -1.

Рассмотрим третью картинку:

На этой картинке касательная является горизонтальной линией. Она проходит через точку \((0, 1)\) и \((1, 1)\).

Найдем тангенс угла наклона:

\[ k = \frac{1 - 1}{1 - 0} = \frac{0}{1} = 0 \]

Значит, значение производной функции \(f'(x_0)\) в этой точке равно 0.

Ответ: 2; -1; 0.