4.1.5. Я полагал, что вскоре он сам во всём покается. В драматический момент размолвки или, наоборот, когда счастье ____ его и хлестнёт через край. (К. Булычев)

Подходит слово переполняет: устойчивое сочетание «счастье переполняет кого-либо» означает, что человек испытывает очень сильное счастье.

Я полагал, что вскоре он сам во всём покается. В драматический момент размолвки или, наоборот, когда счастье переполняет его и хлестнёт через край.

Ответ: переполняет.