4) (1 балл) Найдите значение выражения \( \log_{\frac{1}{3}} 36 - \log_{\frac{1}{3}} 4 \)

Решение:

Используем свойство логарифмов: \( \log_b M - \log_b N = \log_b \frac{M}{N} \).

\( \log_{\frac{1}{3}} 36 - \log_{\frac{1}{3}} 4 = \log_{\frac{1}{3}} \frac{36}{4} \)

Вычислим частное:

\( \log_{\frac{1}{3}} 9 \)

Теперь найдём, в какую степень нужно возвести основание \( \frac{1}{3} \), чтобы получить 9. Пусть \( \log_{\frac{1}{3}} 9 = y \).

Тогда \( (\frac{1}{3})^y = 9 \).

Перепишем основание \( \frac{1}{3} \) как \( 3^{-1} \) и число 9 как \( 3^2 \):

\( (3^{-1})^y = 3^2 \)

\( 3^{-y} = 3^2 \)

Приравниваем показатели степеней:

\( -y = 2 \)

\( y = -2 \)

Ответ: -2