4.1. Вычислите: a) $$5\frac{3}{5} + 2\frac{2}{3}$$; б) $$6\frac{3}{5} : 3.$$

Решение:

1. а) Сложение смешанных чисел:

   Сначала переведем смешанные числа в неправильные дроби:

   \[ 5\frac{3}{5} = \frac{5 \times 5 + 3}{5} = \frac{28}{5} \]

   \[ 2\frac{2}{3} = \frac{2 \times 3 + 2}{3} = \frac{8}{3} \]

   Теперь сложим дроби. Для этого приведем их к общему знаменателю, который равен 15:

   \[ \frac{28}{5} = \frac{28 \times 3}{5 \times 3} = \frac{84}{15} \]

   \[ \frac{8}{3} = \frac{8 \times 5}{3 \times 5} = \frac{40}{15} \]

   Складываем:

   \[ \frac{84}{15} + \frac{40}{15} = \frac{84 + 40}{15} = \frac{124}{15} \]

   Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число:

   \[ \frac{124}{15} = 8 \frac{4}{15} \]

2. б) Деление смешанного числа на натуральное:

   Переведем смешанное число в неправильную дробь:

   \[ 6\frac{3}{5} = \frac{6 \times 5 + 3}{5} = \frac{33}{5} \]

   Теперь разделим:

   \[ \frac{33}{5} : 3 = \frac{33}{5} : \frac{3}{1} \]

   Чтобы разделить дроби, нужно умножить первую дробь на дробь, обратную второй:

   \[ \frac{33}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{33 \times 1}{5 \times 3} = \frac{33}{15} \]

   Сократим дробь на 3:

   \[ \frac{33}{15} = \frac{11}{5} \]

   Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

   \[ \frac{11}{5} = 2 \frac{1}{5} \]

Ответ: а) $$8\frac{4}{15}$$, б) $$2\frac{1}{5}$$