4.10. Решите систему неравенств: а) {7x² − x + 3 ≤ 0; 2x + 3 > 7}; б) {−3x² + 2x − 1 ≤ 0; 6x > 3(x + 1) − 1}.

а)

1. Для трёхчлена 7x² − x + 3 дискриминант равен D = (−1)² − 4 · 7 · 3 = −83.

2. Поскольку D < 0, а старший коэффициент положителен, трёхчлен положителен при всех x. Условие 7x² − x + 3 ≤ 0 невыполнимо, поэтому система решений не имеет.

б)

1. Для трёхчлена −3x² + 2x − 1 дискриминант равен D = 2² − 4 · (−3) · (−1) = −8. Старший коэффициент отрицателен, поэтому трёхчлен отрицателен при всех x и первое неравенство выполняется для любых x.

2. Решим второе неравенство: 6x > 3(x + 1) − 1, то есть 6x > 3x + 2, откуда x > 2/3.

3. Следовательно, решением системы являются все числа x > 2/3.

Ответ: а) решений нет; б) x ∈ (2/3; +∞).