4.10. Запишите в виде равенства утверждение: 1) сумма противоположных чисел равна нулю; 2) произведение данного числа и числа 1 равно 1; 3) произведением данного числа и числа −1 является число, противоположное данному; 4) модули противоположных чисел равны; 5) разность противоположных чисел равна нулю. Какие из этих равенств являются тождествами?

Обозначим данное число через \(x\), тогда противоположное ему число — \(-x\).

1. \(x+(-x)=0\).
2. \(x\cdot 1=1\).
3. \(x\cdot(-1)=-x\).
4. \(|x|=|-x|\).
5. \(x-(-x)=0\).

Равенство является тождеством, если оно верно при любом допустимом значении переменной. Равенства 1, 3 и 4 верны для любого \(x\). Во 2-м равенстве левая часть равна \(x\), поэтому оно верно только при \(x=1\). В 5-м равенстве левая часть равна \(2x\), поэтому оно верно только при \(x=0\).

Ответ: тождества — равенства 1, 3 и 4.