4.107 log₅ (1-2x)/(x+3) = 1

Решение:

1. Перепишем уравнение: \( \log_5 \frac{1-2x}{x+3} = 1 \).
2. Перейдём от логарифмического уравнения к показательному: \( \frac{1-2x}{x+3} = 5^1 \).
3. Умножим обе части на \( x+3 \) (при условии \( x \neq -3 \)): \( 1-2x = 5(x+3) \).
4. Раскроем скобки: \( 1-2x = 5x+15 \).
5. Перенесём члены с \( x \) в одну сторону, а числа в другую: \( -2x - 5x = 15 - 1 \) → \( -7x = 14 \).
6. Решим линейное уравнение: \( x = \frac{14}{-7} = -2 \).
7. Проверим условие существования логарифма \( \frac{1-2x}{x+3} > 0 \) и \( x \neq -3 \):
• Для \( x=-2 \): \( \frac{1-2(-2)}{-2+3} = \frac{1+4}{1} = 5 > 0 \). Условие выполнено.
• \( x = -2 \neq -3 \).

Ответ: x = -2.