4.110 log₁/₆ (16-20x)/(3x+4) = -2

Решение:

1. Перепишем уравнение: \( \log_{\frac{1}{6}} \frac{16-20x}{3x+4} = -2 \).
2. Перейдём от логарифмического уравнения к показательному: \( \frac{16-20x}{3x+4} = (\frac{1}{6})^{-2} \).
3. Вычислим правую часть: \( (\frac{1}{6})^{-2} = 6^2 = 36 \).
4. Получим уравнение: \( \frac{16-20x}{3x+4} = 36 \).
5. Умножим обе части на \( 3x+4 \) (при условии \( 3x+4 \neq 0 \)): \( 16-20x = 36(3x+4) \).
6. Раскроем скобки: \( 16-20x = 108x + 144 \).
7. Перенесём члены с \( x \) в одну сторону, а числа в другую: \( 16 - 144 = 108x + 20x \) → \( -128 = 128x \).
8. Решим линейное уравнение: \( x = \frac{-128}{128} = -1 \).
9. Проверим условие существования логарифма \( \frac{16-20x}{3x+4} > 0 \) и \( 3x+4 \neq 0 \):
• Для \( x=-1 \): \( \frac{16-20(-1)}{3(-1)+4} = \frac{16+20}{-3+4} = \frac{36}{1} = 36 > 0 \). Условие выполнено.
• \( 3(-1)+4 = -3+4 = 1 \neq 0 \).

Ответ: x = -1.