4.14. Конец A отрезка AB принадлежит плоскости α. Через точку B и точку C, принадлежащую отрезку AB, проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках B₁ и C₁ соответственно. 1) Докажите, что точки A, B₁ и C₁ лежат на одной прямой. 2) Найдите отрезок BB₁, если точка C — середина отрезка AB и CC₁ = 5 см. 3) Найдите отрезок CC₁, если AC : BC = 3 : 4 и BB₁ = 28 см.

1) Прямые AB и параллельная им прямая через C лежат в одной плоскости. В этой плоскости находятся точки A, B и C, а также точки B₁ и C₁, поскольку BB₁ ∥ CC₁. Пересечение этой плоскости с α проходит через A, B₁ и C₁. Следовательно, точки A, B₁ и C₁ коллинеарны.

2) Параллельное проектирование на α переводит отрезок AB в AВ₁, а точка C — в C₁. Поскольку C — середина AB, отрезок CC₁ составляет половину BB₁: \(CC_1=\frac12 BB_1\). Тогда \(BB_1=2\cdot5=10\) см.

3) Из отношения \(AC:BC=3:4\) следует, что C делит AB в отношении 3:4, считая от A. Поэтому \(CC_1=\frac37 BB_1=\frac37\cdot28=12\) см.

Ответ: 2) 10 см; 3) 12 см.