4.16. На отрезке AB, не пересекающем плоскость α, отмечена точка C так, что AC = 4 см, BC = 8 см. Через точки A, B и C проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. 1) Докажите, что точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой. 2) Найдите отрезок A₁C₁, если B₁C₁ = 10 см.

1) Точки A, B и C лежат на одной прямой. Параллельное проектирование вдоль проведённых параллельных прямых переводит эту прямую в прямую пересечения плоскости, содержащей AB и направление проектирования, с плоскостью α. Поэтому её образы A₁, B₁ и C₁ коллинеарны.

2) Поскольку C лежит между A и B, \(AB=AC+CB=4+8=12\) см. Коэффициент деления отрезка от A равен \(AC/AB=4/12=1/3\). При параллельном проектировании сохраняется отношение деления, поэтому \(A_1C_1:B_1C_1=AC:CB=4:8=1:2\). Значит, \(A_1C_1=\frac12\cdot10=5\) см.

Ответ: 2) 5 см.