4.15. \(3\ctg^2 x-5\ctg x+2=0\);

Пусть \(t=\ctg x\). Тогда получаем квадратное уравнение:

\(3t^2-5t+2=0\).

Разложим на множители: \((3t-2)(t-1)=0\), поэтому \(t=\frac23\) или \(t=1\).

Возвращаемся к переменной \(x\): \(\ctg x=\frac23\) или \(\ctg x=1\). Котангенс определён при \(x\ne\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

Ответ: \(x=\arctan\frac32+\pi k\) или \(x=\frac\pi4+\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).