5.8. \(\cos^2 x+\sin x+1=0\);

Используем тождество \(\cos^2 x=1-\sin^2 x\):

\(1-\sin^2 x+\sin x+1=0\), то есть \(\sin^2 x-\sin x-2=0\).

Разложим на множители: \((\sin x-2)(\sin x+1)=0\). Значение \(\sin x=2\) невозможно, поскольку синус принимает значения только от \(-1\) до \(1\). Следовательно, \(\sin x=-1\).

Ответ: \(x=\frac{3\pi}{2}+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).