4. (2 балла) Упростите выражение. 1 вариант: 1) \(\frac{1}{x-y}+\frac{1}{x+y}-\frac{2x}{(x-y)(x+y)}\); 2) \(\frac{x^2-4xy+4y^2}{x-2y}\times\frac{xy}{x^2-4y^2}\). 2 вариант: 1) \(\frac{1}{x-y}-\frac{1}{x+y}-\frac{2y}{x^2-y^2}\); 2) \(\frac{x^2-2xy+y^2}{3(x-y)}\times\frac{9}{x^2-y^2}\).

1 вариант.

1) Приведём к общему знаменателю:

\(\frac{1}{x-y}+\frac{1}{x+y}-\frac{2x}{(x-y)(x+y)}=\frac{(x+y)+(x-y)-2x}{(x-y)(x+y)}=0\).

Знаменатели исходного выражения не должны обращаться в ноль: \(x\ne y\) и \(x\ne-y\).

2) Разложим многочлены на множители:

\(\frac{(x-2y)^2}{x-2y}\times\frac{xy}{(x-2y)(x+2y)}=\frac{xy}{x+2y}\).

Ограничения исходного выражения: \(x\ne2y\), \(x\ne-2y\).

2 вариант.

1) Используем \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\):

\(\frac{1}{x-y}-\frac{1}{x+y}-\frac{2y}{x^2-y^2}=\frac{(x+y)-(x-y)-2y}{(x-y)(x+y)}=0\).

Ограничения: \(x\ne y\) и \(x\ne-y\).

2) Разложим на множители и сократим:

\(\frac{(x-y)^2}{3(x-y)}\times\frac{9}{(x-y)(x+y)}=\frac{3}{x+y}\).

Ограничения исходного выражения: \(x\ne y\), \(x\ne-y\).