4.2. Сократите дробь \(\dfrac{3m^2-2mn-n^2}{6m^2-7mn+n^2}\), найдите её значение, если \(\dfrac{m}{n}=\dfrac{11}{3}\).

Разложим числитель и знаменатель на множители:

\(3m^2-2mn-n^2=(3m+n)(m-n)\),

\(6m^2-7mn+n^2=(6m-n)(m-n)\).

Сокращаем общий множитель \(m-n\): \(\dfrac{3m+n}{6m-n}\), при условии, что исходный знаменатель не равен нулю.

Пусть \(t=\dfrac{m}{n}=\dfrac{11}{3}\). Делим числитель и знаменатель дроби на \(n\):

\(\dfrac{3m+n}{6m-n}=\dfrac{3t+1}{6t-1}=\dfrac{3\cdot\frac{11}{3}+1}{6\cdot\frac{11}{3}-1}=\dfrac{12}{21}=\dfrac{4}{7}\).

Ответ: сокращённая дробь — \(\dfrac{3m+n}{6m-n}\); её значение — \(\dfrac{4}{7}\).