4.23. Решите систему неравенств: а) \(\begin{cases}\frac{x-1}{2}-\frac{x-2}{3}\ge\frac{x-3}{4}-x,\\1-x>0{,}5x-4;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}\frac{2x-1}{6}+\frac{x+2}{3}-\frac{x-8}{2}>x-1,\\2-2x>0{,}5+0{,}5x;\end{cases}\) в) \(\begin{cases}\frac{5x+7}{6}-\frac{3x}{4}<\frac{11x-7}{12},\\\frac{1-3x}{2}-\frac{1-4x}{3}\ge\frac{x}{6}-1;\end{cases}\) г) \(\begin{cases}\frac{8x+1}{3}>\frac{4x+9}{2}-\frac{x-1}{3},\\\frac{5x-2}{3}<\frac{2x+13}{2}-\frac{x+2}{3}.\end{cases}\)

Решаем неравенства в каждой системе и находим пересечение решений.

1. а) Умножаем первое неравенство на 12: \(6x-6-4x+8\ge3x-9-12x\), откуда \(x\ge-1\). Второе: \(1-x>0{,}5x-4\Rightarrow x<\frac{10}{3}\). Итак, \(x\in[-1;\frac{10}{3})\).
2. б) Умножаем первое неравенство на 6: \(2x-1+2x+4-3x+24>6x-6\), откуда \(x<\frac{33}{5}\). Второе: \(2-2x>0{,}5+0{,}5x\Rightarrow x<\frac35\). Итак, \(x\in(-\infty;\frac35)\).
3. в) Первое неравенство после умножения на 12: \(10x+14-9x<11x-7\), поэтому \(x>\frac{21}{10}\). Второе после умножения на 6: \(3-9x-2+8x\ge x-6\), поэтому \(x\le\frac72\). Итак, \(x\in(\frac{21}{10};\frac72]\).
4. г) Первое неравенство после умножения на 6 даёт \(18x+2>14x+29\), то есть \(x>\frac{27}{4}\). Второе после умножения на 6 даёт \(10x-4<4x+35\), то есть \(x<\frac{13}{2}\). Эти условия несовместимы, так как \(\frac{27}{4}>\frac{13}{2}\). Решений нет.

Ответ: а) \([-1;\frac{10}{3})\); б) \((-\infty;\frac35)\); в) \((\frac{21}{10};\frac72]\); г) решений нет.