4.4. Решите треугольник по двум сторонам и углу между ними: 1) a = 8 см, c = 6 см, β = 15°; 2) b = 7 см, c = 5 см, α = 145°.

Используем теорему косинусов для третьей стороны и теорему синусов для одного из оставшихся углов; третий угол найдём из суммы углов треугольника.

1) \(b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta\).

\(b=\sqrt{8^2+6^2-2\cdot8\cdot6\cos15^\circ}\approx2.98\) см.

\(\sin\alpha=\frac{8\sin15^\circ}{2.98}\), поэтому \(\alpha\approx44.76^\circ\). Тогда \(\gamma=180^\circ-15^\circ-44.76^\circ\approx120.24^\circ\).

2) \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha\).

\(a=\sqrt{7^2+5^2-2\cdot7\cdot5\cos145^\circ}\approx11.38\) см.

\(\sin\beta=\frac{7\sin145^\circ}{11.38}\), поэтому \(\beta\approx20.70^\circ\). Тогда \(\gamma=180^\circ-145^\circ-20.70^\circ\approx14.30^\circ\).

Ответ: 1) \(b\approx2.98\) см, \(\alpha\approx44.76^\circ\), \(\gamma\approx120.24^\circ\); 2) \(a\approx11.38\) см, \(\beta\approx20.70^\circ\), \(\gamma\approx14.30^\circ\).