4. \(ABCD\) — квадрат со стороной, равной 6, \(AD\subset\alpha\), \(AM=MB\). Прямая \(CM\) пересекает плоскость \(\alpha\) в некоторой точке \(K\). Найдите длину отрезка \(AK\).

Плоскости квадрата \(ABCD\) и \(\alpha\) пересекаются по прямой \(AD\). Точка \(M\) — середина \(AB\), а прямая \(CM\) пересекает \(AD\) в точке \(K\).

В треугольнике \(ABC\) отрезок \(CM\) — медиана к стороне \(AB\). Поскольку квадрат является параллелограммом, можно задать координаты: \(A=(0,0)\), \(B=(0,6)\), \(D=(6,0)\), \(C=(6,6)\). Тогда \(M=(0,3)\). Прямая через \(M\) и \(C\) пересекает прямую \(AD\) (где \(y=0\)) при параметре \(t=-1\): \((x,y)=(0,3)+t(6,3)\), откуда \(x=-6\).

Точка \(K\) лежит на продолжении \(AD\) за точку \(A\), поэтому \(AK=6\).

Ответ: \(AK=6\).