4. ABCD — прямоугольник, E ∈ BC, AB = 4 см, ED = 6 см, ∠AED = 75°. Найти: AD.

Опустим из E перпендикуляр к AD. Его длина равна высоте прямоугольника: 4 см.

В прямоугольном треугольнике с гипотенузой ED = 6 см горизонтальная проекция ED равна \(\sqrt{6^2-4^2}=2\sqrt{5}\) см.

Угол между ED и горизонталью равен \(\alpha=\arcsin(2/3)\). Поэтому угол между EA и горизонталью равен \(75^\circ-\alpha\), а горизонтальная проекция EA составляет \(4\cot(75^\circ-\alpha)\).

Следовательно, \(AD=2\sqrt{5}+4\cot(75^\circ-\arcsin(2/3))\approx10.59\) см.

Ответ: примерно 10,59 см.