6. ABCD — ромб. ∠A = 60°. BM ⟂ AD, BN ⟂ CD. Найти MD + DN.

Обозначим сторону ромба через a. Все его стороны равны.

1. В прямоугольном треугольнике ABM угол A равен 60°, а гипотенуза AB = a. Поэтому AM = a · cos 60° = a/2.
2. AD = a, следовательно, MD = AD − AM = a − a/2 = a/2.
3. В прямоугольном треугольнике BDN угол D равен 120° −? Угол между DB и DC определяется геометрией ромба: в треугольнике BCD угол C равен 60°, а диагональ BD его бисектрисой не является. Однако из условия не следует, что DN = a/2; проекция DB на DC зависит от геометрии, и при ∠A = 60° получается ∠BDC = 30°. Тогда DN = BD · cos 30° = a√3 · (√3/2) = 3a/2 — но это невозможно, поскольку проекция на DC должна быть не больше CD = a.

Исправим проекцию: в треугольнике BCD стороны BC = CD = a, а ∠C = 60°, значит, треугольник равносторонний и BD = a. Тогда ∠BDC = 60°, поэтому DN = BD · cos 60° = a/2.

Итак, MD + DN = a/2 + a/2 = a. Числовое значение найти нельзя, поскольку длина стороны ромба не указана.

Ответ: MD + DN равна стороне ромба; числовое значение определить нельзя без длины стороны.