4. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Луч DM пересекает прямую AB в точке N. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если AN = 10 см.

Пусть AB = a, AD = b, а единичные векторы вдоль AB и AD обозначим u и v. Биссектриса угла A имеет направление u + v; её пересечение с BC соответствует доле a/b стороны BC. Биссектриса угла D имеет направление u − v; её пересечение с BC соответствует доле (b − a)/b.

Обе биссектрисы пересекаются в одной точке M, поэтому a/b = (b − a)/b, откуда b = 2a. Луч DM, продолженный до прямой AB, пересекает её в точке N, причём AN = AB = a. Значит, AB = 10 см, а AD = 20 см.

Периметр параллелограмма: 2(AB + AD) = 2(10 + 20) = 60 см.

Ответ: 60 см.