4. Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади четырёхугольника KPCM к площади треугольника AMK.

Отношение площадей сохраняется при аффинном преобразовании. Возьмём координаты A(0; 0), B(0; 1), C(1; 0). Тогда M — середина AC, поэтому M(1/2; 0), а K — середина BM, поэтому K(1/4; 1/2).

Прямая AK имеет уравнение y = 2x, а BC — уравнение y = 1 − x. Их пересечение P имеет координаты (1/3; 2/3).

По формуле площади многоугольника площадь KPCM равна 5/24, а площадь треугольника AMK равна 1/8. Поэтому искомое отношение равно (5/24)/(1/8) = 5/3.

Ответ: 5:3.