4) Число даёт остаток 8 при делении на 10. Какие остатки оно может давать при делении на 5? Найдите все варианты и докажите, что нет других.

Если число при делении на 10 даёт остаток 8, его можно записать в виде \(n = 10k + 8\), где \(k\) — целое неотрицательное число.

Поскольку \(10k\) делится на 5, остаток при делении \(n\) на 5 совпадает с остатком числа 8 при делении на 5: \(8 = 5 \cdot 1 + 3\). Значит, всегда получается остаток 3.

Других остатков быть не может, так как запись \(n = 10k + 8\) охватывает все числа, дающие остаток 8 при делении на 10.

Ответ: только остаток 3.