4. Дан куб ABCD A₁B₁C₁D₁. Точка M лежит на ребре DD₁, точка N — на ребре CC₁, точка K — на ребре BB₁. а) Указать, каким плоскостям принадлежит точка K. б) Назвать точки, принадлежащие грани BB₁C₁C. в) Назвать грани, которые пересекает прямая KN. г) Назвать грани, которые с прямой AM не пересекаются.

а) Точка K лежит на ребре BB₁, общем для граней ABB₁A₁ и BB₁C₁C. Следовательно, K принадлежит плоскостям этих граней.

б) На грани BB₁C₁C лежат вершины B, B₁, C₁, C, а также отмеченные на её рёбрах точки K и N.

в) Прямая KN целиком лежит в плоскости грани BB₁C₁C. Грани, имеющие с этой гранью общее ребро, пересекают прямую KN в точке пересечения этой прямой с соответствующей плоскостью. Для граней ABB₁A₁ и A₁B₁C₁D₁ это соответственно точки K и B₁; для граней ABCD и DCC₁D₁ — точки B и C.

г) Прямая AM лежит в плоскости грани ADD₁A₁. Противоположная ей грань BB₁C₁C параллельна этой плоскости, поэтому прямая AM её не пересекает.

Ответ: а) плоскости ABB₁A₁ и BB₁C₁C; б) B, B₁, C₁, C, K, N; в) грани ABB₁A₁, A₁B₁C₁D₁, ABCD и DCC₁D₁ пересекаются с KN; г) прямая AM не пересекает грань BB₁C₁C.