4. Дан равнобедренный треугольник ABC, AB=BC. Сторона AB=4√6 см, AE=21 см. Найдите OD, если O — точка пересечения медиан AE и CD.

Так как \(AB=BC=4\sqrt6\) см, то \(AB^2=BC^2=96\).

Медиана \(AE\) проведена к стороне \(BC\). По теореме Аполлония:

\(AE^2=\frac{2AB^2+2AC^2-BC^2}{4}\).

Подставим известные значения:

\(21^2=\frac{2\cdot96+2AC^2-96}{4}\).

\(441=\frac{96+2AC^2}{4}\), поэтому \(1764=96+2AC^2\), откуда \(AC^2=834\).

Для медианы \(CD\), проведённой к стороне \(AB\), снова применим теорему Аполлония:

\(CD^2=\frac{2BC^2+2AC^2-AB^2}{4}=\frac{2\cdot96+2\cdot834-96}{4}=441\).

Следовательно, \(CD=21\) см.

Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины. Поэтому \(OD=\frac{CD}{3}=\frac{21}{3}=7\) см.

Ответ: 7 см.