4. Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Основание AD = 12 см, а диагональ AC является биссектрисой угла BAD. Найдите среднюю линию трапеции, если её периметр равен 33 см.

Так как AD параллельно BC, углы \(\angle DAC\) и \(\angle ACB\) равны как накрест лежащие при секущей AC. По условию AC — биссектриса угла BAD, поэтому \(\angle BAC=\angle DAC\). Следовательно, \(\angle BAC=\angle ACB\), а в треугольнике ABC против равных углов лежат равные стороны: \(AB=BC\).

Трапеция равнобедренная, значит, её боковые стороны равны: \(AB=CD\). Обозначим \(BC=x\). Тогда \(AB=CD=x\), и из периметра получаем:

\(12+x+x+x=33\),

\(3x=21\),

\(x=7\) см.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

\(\frac{AD+BC}{2}=\frac{12+7}{2}=9.5\) см.

Ответ: 9,5 см.