4. Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Основание AD равно 12 см, а диагональ AC является биссектрисой угла BAD. Найдите среднюю линию трапеции, если её периметр равен 33 см.

Пусть длина основания \(BC\) равна \(x\), а боковая сторона — \(l\). В равнобедренной трапеции \(AB=CD=l\).

Так как \(AD\parallel BC\), углы \(BCA\) и \(CAD\) равны как накрест лежащие. Диагональ AC — биссектриса угла BAD, значит, \(\angle BAC=\angle CAD\). Следовательно, \(\angle BAC=\angle BCA\), и в треугольнике ABC противоположные им стороны равны: \(AB=BC\). Поэтому \(l=x\).

По периметру:

\(12+x+2l=33\), откуда \(12+3x=33\), \(x=7\) см.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

\(\frac{AD+BC}{2}=\frac{12+7}{2}=9.5\) см.

Ответ: 9,5 см.