4. Дана трапеция ABCD, BC ∥ AD. Известно, что ∠BAC = ∠CAD на 20° больше ∠BAC, а углы ∠BDC и ∠BDA относятся как 1 : 2. Докажите, что AB = CD.

Формулировка о равенстве углов неоднозначна. Если имеется в виду ∠CAD = ∠BAC + 20°, утверждение не следует из данных: обозначим ∠BAC = x, тогда ∠CAD = x + 20°. Из BC ∥ AD получаем ∠ACB = ∠CAD, поэтому в треугольнике ABC угол при B равен 160° − 2x.

Поскольку лучи DC и DA лежат по одну сторону от DB, из ∠BDC : ∠BDA = 1 : 2 следует ∠BDC = y, ∠BDA = 2y. В треугольнике BCD угол при C равен 180° − 2x, следовательно, y = 2x. В треугольнике ABD тогда углы при D и A равны 4x и 180° − 5x. Равенство AB = CD потребовало бы равенства противоположных им синусов, что не следует из этих соотношений.

Например, при x = 10° получаем допустимые углы: ∠BAC = 10°, ∠CAD = 30°, ∠BDC = 20°, ∠BDA = 40°. Тогда AB и CD пропорциональны sin 40° и sin 10°, поэтому они не равны.

Вероятно, в условии пропущено или искажено отношение между углами. Для доказательства требуется уточнить точную формулировку.