4. Дана трапеция ABCD, BC ∥ AD. Известно, что ∠CDA = 60°, ∠BAC = ∠BDC, ∠CAD на 20° больше ∠BAC, а углы ∠BDC и ∠BDA относятся как 1:2. Докажите, что AB = CD.

1. Обозначим ∠BAC = ∠BDC = x. Тогда ∠CAD = x + 20°. По условию ∠BDC : ∠BDA = 1 : 2, значит, ∠BDA = 2x.
2. Диагональ BD делит угол CDA на углы BDC и BDA. Поэтому x + 2x = ∠CDA = 60°, откуда x = 20°. Следовательно, ∠BAC = 20°, ∠BDC = 20°, ∠BDA = 40° и ∠CAD = 40°.
3. Так как BC ∥ AD, то ∠BCA = ∠CAD = 40° (накрест лежащие углы).
4. В треугольнике ABC третий угол ∠ABC = 180° − 20° − 40° = 120°. По теореме синусов AB/AC = sin 40°/sin 120°.
5. В треугольнике ACD угол ACD = 180° − 60° − 40° = 80°. По теореме синусов CD/AC = sin 40°/sin 60°.
6. Поскольку sin 120° = sin 60°, получаем AB/AC = CD/AC. Следовательно, AB = CD.

Доказано: AB = CD.