№ 4. Дано: ABCD — параллелограмм, BH — высота, AH = HD, ∠DBH = 30°, AB = 10 см. Найти периметр ABCD.

Поскольку BH — высота, BH ⟂ AD. Поэтому треугольники ABH и DBH прямоугольные при H. Обозначим AH = HD = x.

В треугольнике DBH угол DBH равен 30°, а противолежащий ему катет HD = x. В прямоугольном треугольнике катет напротив угла 30° равен половине гипотенузы, значит BD = 2x.

По теореме Пифагора для треугольника DBH: BH² = BD² − HD² = (2x)² − x² = 3x², поэтому BH = x√3.

В треугольнике ABH: AB² = AH² + BH² = x² + 3x² = 4x². Так как AB = 10 см, получаем 2x = 10, откуда x = 5 см.

Тогда AD = AH + HD = 2x = 10 см. Периметр параллелограмма: P = 2(AB + AD) = 2(10 + 10) = 40 см.

Ответ: 40 см.