4. Дано: ABCD — параллелограмм (рис. 4). Найти: P_ABCD, S_ABCD.

Решение:

ABCD — параллелограмм.

По условию, диагонали пересекаются в точке O. \( AO = 3 \), \( BO = 4 \). \( \angle AOB = 30° \).

1. Найдём P_ABCD (периметр):
• Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам:
• \( AC = 2 · AO = 2 · 3 = 6 \).
• \( BD = 2 · BO = 2 · 4 = 8 \).
• В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон: \( AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + BC^2) \).
• \( 6^2 + 8^2 = 2(AB^2 + BC^2) \).
• \( 36 + 64 = 2(AB^2 + BC^2) \).
• \( 100 = 2(AB^2 + BC^2) \).
• \( AB^2 + BC^2 = 50 \).
• Противоположные стороны параллелограмма равны: \( AB = CD \), \( BC = AD \).
• Периметр \( P_{ABCD} = 2(AB + BC) \).
• Для нахождения сторон AB и BC используем теорему косинусов в треугольниках \( \triangle AOB \) и \( \triangle BOC \).
• В \( \triangle AOB \): \( AB^2 = AO^2 + BO^2 - 2 · AO · BO · \cos(\angle AOB) \).
• \( AB^2 = 3^2 + 4^2 - 2 · 3 · 4 · \cos(30°) \).
• \( AB^2 = 9 + 16 - 24 · \frac{\sqrt{3}}{2} = 25 - 12\sqrt{3} \).
• \( AB = \sqrt{25 - 12\sqrt{3}} \).
• \( \angle BOC = 180° - \angle AOB = 180° - 30° = 150° \).
• В \( \triangle BOC \): \( BC^2 = BO^2 + OC^2 - 2 · BO · OC · \cos(\angle BOC) \).
• \( OC = AO = 3 \).
• \( BC^2 = 4^2 + 3^2 - 2 · 4 · 3 · \cos(150°) \).
• \( BC^2 = 16 + 9 - 24 · (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 25 + 12\sqrt{3} \).
• \( BC = \sqrt{25 + 12\sqrt{3}} \).
• Проверка: \( AB^2 + BC^2 = (25 - 12\sqrt{3}) + (25 + 12\sqrt{3}) = 50 \). Верно.
• \( P_{ABCD} = 2(AB + BC) = 2(\sqrt{25 - 12\sqrt{3}} + \sqrt{25 + 12\sqrt{3}}) \).
• \( \sqrt{25 - 12\sqrt{3}} = \sqrt{25 - 2 · 6 \sqrt{3}} = \sqrt{25 - 2 · \sqrt{36 \cdot 3}} = \sqrt{25 - 2 · \sqrt{108}} \). Не упрощается до целого.
• \( \sqrt{25 - 12\sqrt{3}} \approx \sqrt{25 - 12 · 1.732} \approx \sqrt{25 - 20.784} \approx \sqrt{4.216} \approx 2.05 \).
• \( \sqrt{25 + 12\sqrt{3}} \approx \sqrt{25 + 20.784} \approx \sqrt{45.784} \approx 6.77 \).
• \( P_{ABCD} \approx 2(2.05 + 6.77) = 2 · 8.82 = 17.64 \) (ед.).
2. Найдём S_ABCD (площадь):
• Площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними: \( S_{ABCD} = \frac{1}{2} AC · BD · \sin(\angle AOB) \).
• \( S_{ABCD} = \frac{1}{2} · 6 · 8 · \sin(30°) \).
• \( S_{ABCD} = \frac{1}{2} · 48 · 0.5 = 12 \) (кв. ед.).

Ответ: \( P_{ABCD} \approx 17.64 \) ед., \( S_{ABCD} = 12 \) кв. ед.