5. Дано: ABCD — прямоугольник (рис. 5). Найти: ∠CDE, S_ABO, S_BCO.

Решение:

ABCD — прямоугольник. Диагонали пересекаются в точке O.

1. Найдём ∠CDE:
• В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам: \( AC = BD \), \( AO = BO = CO = DO \).
• Рассмотрим \( \triangle CDE \). В прямоугольнике \( AB \parallel CD \) и \( AD \parallel BC \).
• \( \angle D = 90° \) (угол прямоугольника).
• CD = AB = 8 (из рисунка).
• BC = AD = 7 (из рисунка).
• Треугольник BCD — прямоугольный. По теореме Пифагора, \( BD^2 = BC^2 + CD^2 = 7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113 \).
• \( BD = \sqrt{113} \).
• \( DO = CO = \frac{1}{2} BD = \frac{\sqrt{113}}{2} \).
• В \( \triangle CDE \), CD = 8. DE — часть диагонали BD. \( DE = \frac{1}{2} BD = \frac{\sqrt{113}}{2} \).
• Из рисунка видно, что E — точка на стороне CD. \( \angle CDE \) — это угол \( \angle CDB \) в \( \triangle CDB \).
• В \( \triangle CDB \): \( \tan(\angle CDB) = \frac{BC}{CD} = \frac{7}{8} \).
• \( \angle CDB = \arctan(\frac{7}{8}) \approx \arctan(0.875) \approx 41.19° \).
• Таким образом, \( \angle CDE \approx 41.19° \).
2. Найдём S_ABO:
• Площадь прямоугольника \( S_{ABCD} = AB · BC = 8 · 7 = 56 \) (кв. ед.).
• В прямоугольнике диагонали делят его на 4 равновеликих треугольника: \( S_{ABO} = S_{BCO} = S_{CDO} = S_{DAO} \).
• \( S_{ABO} = \frac{1}{4} S_{ABCD} = \frac{1}{4} · 56 = 14 \) (кв. ед.).
3. Найдём S_BCO:
• \( S_{BCO} = \frac{1}{4} S_{ABCD} = \frac{1}{4} · 56 = 14 \) (кв. ед.).

Ответ: \( \angle CDE \approx 41.19° \), \( S_{ABO} = 14 \) кв. ед., \( S_{BCO} = 14 \) кв. ед.