6. Дано: ABCD — трапеция (рис. 6). Найти: AD, S_ABCD.

Решение:

ABCD — трапеция. BC || AD.

BC = 3 (верхнее основание).

Из рисунка видно, что EF и BK — высоты.

1. Найдём AD (нижнее основание):
• \( \angle A = 60° \), \( AE = 4 \) (из рисунка).
• \( \angle D = 45° \).
• \( BK \) — высота. \( \triangle ABK \) — прямоугольный. \( \angle ABK = 90° - \angle A = 90° - 60° = 30° \).
• \( EF \) — высота. \( \triangle CFE \) — прямоугольный. \( \angle CEF = 90° \).
• \( BC = EF = 3 \) (так как BC || EF и BE || CF).
• Рассмотрим \( \triangle AEB \) (если бы BE была высотой).
• В \( \triangle ABF \) (где BF — высота, т.е. K=F): \( \tan(\angle A) = \frac{BF}{AF} \).
• \( \tan(60°) = \frac{3}{AF} \).
• \( \sqrt{3} = \frac{3}{AF} \).
• \( AF = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \).
• Рассмотрим \( \triangle CKD \) (где CK — высота, т.е. BK = 3): \( \tan(\angle D) = \frac{CK}{KD} \).
• \( \tan(45°) = \frac{3}{KD} \).
• \( 1 = \frac{3}{KD} \).
• \( KD = 3 \).
• Нижнее основание \( AD = AF + FG + GD \).
• FG = BC = 3 (так как BCFG — прямоугольник).
• \( AD = AF + BC + KD = \sqrt{3} + 3 + 3 = 6 + \sqrt{3} \).
• \( \sqrt{3} \approx 1.732 \).
• \( AD \approx 6 + 1.732 = 7.732 \) (ед.).
2. Найдём S_ABCD (площадь):
• Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: \( S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} · h \).
• \( h = BC = 3 \).
• \( S_{ABCD} = \frac{3 + (6 + \sqrt{3})}{2} · 3 \).
• \( S_{ABCD} = \frac{9 + \sqrt{3}}{2} · 3 = \frac{27 + 3\sqrt{3}}{2} \) (кв. ед.).
• \( S_{ABCD} \approx \frac{27 + 3 · 1.732}{2} = \frac{27 + 5.196}{2} = \frac{32.196}{2} = 16.098 \) (кв. ед.).

Ответ: \( AD = 6 + \sqrt{3} \approx 7.732 \) ед., \( S_{ABCD} = \frac{27 + 3\sqrt{3}}{2} \approx 16.098 \) кв. ед.