4. Дано: ABCD — прямоугольник; E, F, M и N — середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно; CD = 30, ∠DCN = 60°. Найти P_EFMN.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CDN. Так как N — середина AD, отрезок DN равен половине ширины прямоугольника. По углу ∠DCN = 60°:

\(\tan 60^\circ=\dfrac{DN}{CD}\), поэтому \(DN=30\sqrt{3}\), а \(AD=2DN=60\sqrt{3}\).

В прямоугольнике диагонали равны. Каждый отрезок EFMN соединяет середины двух соседних сторон и равен половине диагонали прямоугольника. Следовательно, периметр EFMN равен удвоенной диагонали ABCD.

\(AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{(60\sqrt{3})^2+30^2}=30\sqrt{13}.\)

\(P_{EFMN}=2AC=60\sqrt{13}.\)

Ответ: \(P_{EFMN}=60\sqrt{13}\).