4) Дано: ABCD — трапеция, AB и CD — её основания, AB ∥ α, AD ∩ α = E, CB ∩ α = F. Доказать: D C F E — трапеция.

Пусть β — плоскость трапеции ABCD. Тогда β ∩ α = EF, поскольку E и F — точки пересечения сторон AD и CB с плоскостью α.

Так как основания трапеции параллельны, AB ∥ CD. Из AB ∥ α следует, что CD ∥ α: прямая CD лежит в плоскости β, параллельна прямой AB этой плоскости, которая параллельна α.

Плоскости β и α пересекаются по прямой EF. Если прямая CD плоскости β параллельна α, то она параллельна линии пересечения β и α. Значит, CD ∥ EF.

В четырёхугольнике DCFE одна пара противоположных сторон параллельна, поэтому DCFE — трапеция.