4. Дано: ABCD — трапеция, BC ∥ AD; M и K — середины боковых сторон AB и CD; диагональ AC пересекает MK в точке O. Доказать: AO = OC.

1. Так как ABCD — трапеция, BC ∥ AD. Отрезок MK соединяет середины боковых сторон, поэтому MK — средняя линия трапеции и MK ∥ AD.

2. Точка K лежит на CD, а O лежит на MK, значит KO ∥ AD. Рассмотрим треугольник CDA: K — середина CD, а прямая через K, параллельная AD, пересекает CA в точке O.

3. По теореме о средней линии треугольника O — середина CA. Следовательно, AO = OC.

Доказано.